必要最低限って英語でなんて言うの？

最低限は英語で bare minimum とよく言います。

例えば「彼は最低限のことしかやらない」と言いたいなら He just does the bare minimum と言えます。

この文脈での「bare」は「最も」という意味になります。

なので、「必要最低限」は necessary bare minimum になります。例えば「水の必要最低限を準備する」と言いたいなら prepare the necessary bare minimum of water と言えます。

ご参考になれば幸いです。

ふたつめに記載した「必要最低限の会話」はネガティブな意味でとらえました。

the 最上級 + possible で「できる限り〜」という意味になります。
これを使って、

　I spent the least amount of money possible in Tokyo.
　（東京では《必要》最小限のお金しか使わなかった。）

また、minimumはそれ自体が「最小限・最低限」なので、この文の the least を minimum に置き換えることもできます。

なお、ご質問の「必要最小限の準備」のような場合は、minimum preparation だけでいいかもしれません。

また、「必要最低限の会話をする」は talk as little as possible with (人) なども使えます。

必要最低限は英語で 'the minimum necessary' と言えばいいと思います。
必要は necessary と言います。
最低限は the minimum となります。

たとえば次のように使います。
「海外旅行には必要最低限の準備をしました。」
'I made the minimum necessary preparations for my trip abroad.'

あるいは
「書類を校閲したが必要最低限の修正をしました。」
'I have revised the document, but made the minimum necessary corrections.'

という使い方があります。
ご参考になればと幸いです。