こだわりのお店が増えてきたって英語でなんて言うの？

「こだわりの…のお店が増えてきた」は次のように言えるかと思います。
ーThere are more and more specialized shops who ...

ーThere has been an increase in the number of specialized stores who ...

「こだわりのお店」は specialized shops/stores のように言うと良いでしょう。

例：
There are more and more specialized coffee shops who measures the amount and temperature of the hot water they use.
「使うお湯の量や温度を測るこだわりのコーヒーショップが増えてきた」

ご参考まで！