Please let me know when you finish filling out the form.
Give me a shout once you finish writing out the documents.
ーPlease let me know when you finish filling out the form.
「書類に記入し終えたら声をかけてください」
to let me know when ... という言い方が自然で良いでしょう。
どういう状況かわかりませんが、カジュアルなシチュエーションなら次のようにも言えます。
ーGive me a shout once you finish writing out the documents.
「書類を書き終えたら呼んでね/声かけてね」
ご参考まで!
こんにちは。
さまざまな言い方ができると思いますが、下記のような英語表現はいかがでしょうか:
Let me know.
教えてね(声をかけてね)
Let me know when you're done.
終わったら教えてね。
Let me know when you've finished.
終わったら教えてね。
ぜひ参考にしてください。