簡潔に言いますと，どちらの文も正解です。意味も通じますよ。
I need to take a nap/ have a napだと「take a nap」（昼寝をすること、昼寝休憩をすること）という動詞を使った構文ですが、２例目のI need a nap.の場合「nap」（昼寝）という名詞を使った構文になっています。
このことを踏まえるとtake a napの構文の場合は「昼寝をすることが必要（昼寝をする機会や場所などが必要）」であることが強調された文になっています。
しかしnapだけの構文では「昼寝が必要」という「昼寝さえできれば問題がない」というニュアンスの文ができ微妙な差異が出てきます。
参考になれば幸いです。
I need to take a nap. と I need a nap. に意味の違いはないですよ！違いといえば、need の後ろに to take a nap という動詞が来ているか、a nap という名詞が来ているかの違いです。
「昼寝をしないと」は他にもいろいろな言い方ができますよ！
ーI have to catch a few Z's.
よく漫画などでいびきや、眠りを表すのに"zzz"が使われますが、to catch a few Z's で「一眠りする」という意味があります。
ーI need a little siesta.
siesta はスペイン語で「昼寝」という意味で、午後の早い時間にとる昼寝のことを指します。
ーI need to take a little catnap.
a catnap は「うたた寝」や「仮眠」などの意味があり、短い睡眠を繰り返す猫の睡眠パターンから取られた表現です。
ご参考まで！
日本 
カナダ 
