They are trying to prove their existence to the world by committing crimes.
Committing crimes is their way of expressing themselves.
ご質問ありがとうございます。
① "They are trying to *prove their existence* to the world by committing crimes."＝「彼らは*自分たちの存在*を証明しようとしている、犯罪を犯すことによって。」
② "Committing crimes is *their way of expressing themselves*."＝「犯罪を犯すことは*彼等の自己表現の方法*である。」
ご参考までに。
They are trying to make themselves known to the world by the crimes they commit.
この場合、次のように言うと自然な感じで良いと思います。
ーThey are trying to make themselves known to the world by the crimes they commit.
「彼らは犯罪を起こすことで世界に彼らのことを知らしめようとしている」
to make oneself known で「知らしめる」という意味なので、to make oneself known to the world で「世に知らしめる」と言えます。
by the crimes they commit で「彼らが犯す罪・犯罪によって」
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
