He'll be able to speak English better than me in no time.
英語力について追い越すことを言うなら、次のような言い方ができます。
ーHe'll be able to speak English better than me in no time.
「彼が私より英語を上手に話せるようになるのはあっという間だろうね」＝「すぐに追い越しちゃうね」
He'll be able to ... in no time. で「彼はあっという間に…できるようになるだろう」
背を追い越すことを言うなら、次のように言えます。
ーHe'll be taller than me soon.
「彼は私よりすぐ背が高くなるだろう」＝「すぐ追い越しちゃうね」
ご参考まで！
He'll soon be able to pass me up with his English speaking ability in no time.
ご質問ありがとうございます。
この場合、子供について、「彼はすぐに私の英語力を追い越してしまうね」と言いたいなら、英語で、「He'll soon be able to pass me up with his English speaking ability in no time.」という風に言えます。
ご参考になれば幸いです。
カナダ 
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