こちらに名前を書いてお待ちくださいって英語でなんて言うの？

Could you fill in your name and wait a moment, (please) ?
fill in：（何か用紙などに）書き込む
wait a moment：少し待つ
→受付でお名前をもらうというようなニュアンスです。

シチュエーションを変えて、
例えばレストランなど他のお客様もいらっしゃるという状況でしたら
”waiting list”という単語を使うとわかりやすいです！
例）May I have your name on the waiting list, (please) ?
　ウェイティングリストにお名前をご記入ください。

名前をお書きください。順番待ちになっております。
お名前をお呼びします。

シンプルにご質問のままに回答しました。
Write down your name＝ここに貴方の名前を書き下ろしてください。