ご質問ありがとうございます。
「雨がしとしと降り始めました」と言いたいなら、英語で「rain has just started drizzling」と言えます。
ただ、「drizzling」はすでに雨のイメージありますので、「rain」はなくても問題ないです。そうすると「It just started drizzling」でも可能です。
ご参考になれば幸いです。
「雨がしとしと降り始めました。」は英語で「It started raining gently.」と言います。雨は「soft」「gentle」「hard」という形容詞が多く使われていますが、「drizzling」は「しとしと」というイメージなので、1単語でまとめるのです。
雨がしとしと降り始めましたが、傘を忘れたのを覚えました。
It started drizzling, but then I remembered I forgot my umbrella.
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カナダ 
