"Strict adoption requirements"
"strict" 「厳しい」
"adoption" 「[譲渡](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/120601/)」"transfer" も言えますがペットを譲り受けるには "adoption" は適切です。
"requirements" 「条件」
"The conditions for adoption are very strict."
"The conditions for ~" 「〜の条件」
"adoption" 「譲渡」
"are very strict" 「厳しい」
"I have been trying to adopt a pet from a foster organisation but the conditions for adoption are very strict and I keep failing the screening process."
「里親団体からペットを譲り受けたいですが。譲渡条件が厳しくていつも審査に落ちるんだ。」