I'll leave it up to you to find him a present, OK?
I'll let you find him a present.
I'm going to ask you to be in charge of finding him a present.
ご質問ありがとうございます。
① "I'll leave it up to you to find him a present, OK?"＝「彼のためのプレゼント探しは君に任せるね。」
② "I'll let you find him a present."＝「彼へのプレゼントは君に任せるよ。」
③ "I'm going to ask you to be in charge of finding him a present."＝「彼へのプレゼンとを見つけるのは君が担当することをお願いするよ。」
ご参考までに。
直訳的な感じのI'll leave finding him a present to youとかでも通じると思いますが、
友達との会話で下記のような言い方でよく表現します。
I'll let you find him a present.
彼へのプレゼントは君に任せるね。
You can find him a present.
直訳：彼へのプレゼントを探していい
二番目の後で、I'll do~のような表現をつけたら自然に感じますね。例えばYou can find him a present. I'll look for a nice card (私はいいバースデーカードを探すね）
ご参考になれば幸いです！
Do you mind trying to find a nice Christmas/birthday present for him?
日本語に近いように言うなら次のように言えます。
ーI'll let you look for a present for him.
「彼へのプレゼンを探すのは君に任せるよ」
to let you look for ... で「あなたに…を探すのを任せる」と言えます。
次のように言うと自然な感じで良いと思います。
ーDo you mind trying to find a nice Christmas/birthday present for him?
「彼への素敵なクリスマス/誕生日プレゼントを探してくれないかな？」
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
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