子供の髪を切りに美容室につれていくって英語でなんて言うの？

この場合、次のような言い方ができます。

ーI took my daughter to the hair salon to have her hair cut.
「娘の髪を切ってもらうため、娘を美容院に連れて行った」
to have one's hair cut で「髪を切ってもらう」

ーI took my daughter to the hairdresser for a haircut.
「娘の散髪のため、娘を美容師のところに連れて行った」
for a haircut で「散髪のため」
このように名詞として言うこともできます。

人をどこかに連れて行くのは to take someone to ... 「人を…に連れて行く」です。

ご参考まで！