回答
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Do you need (boxed) lunch today?
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Are you going to take (boxed) lunch today?
お弁当は 正確には boxed lunch、あるいはbox lunch といいます。
(「箱に入れられた昼食」というのが直訳です)
これを間違えて lunch box というと、ご存知「お弁当箱」になりますので、要注意
ですが、わざわざboxed lunch と言わず、単にlunchという方が普通かと思います。
なお、例文①は、「今日お弁当要るの?」
例文②は「今日お弁当もっていくつもり?」となります。
ご参考まで。
回答
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Do you want to take your lunch today?
この場合はお弁当箱を使うかどうか、ということよりもお昼を持って行くかどうかを聞きたい状況だと思いますので、「今日はお昼持って行く?」という言い方をご紹介します。幅広い状況で使える表現ですので、覚えておくと便利です。ご参考になれば幸いです。