My body can't keep up with the drastic changes in temperature.
この場合の「体がついていかない」は次のように言えます。
ーMy body has been having trouble adjusting.
「体が(気温を)調節するのに苦労する」
ーMy body can't keep up with the drastic changes in temperature.
「体が気温差の激しさについていけない」
例:
There has been a big difference in the temperatures lately, and my body has been having trouble adjusting.
「最近寒暖差が激しくて、体がついていかない」
ご参考まで!