明日休めるか聞いてみるねって英語でなんて言うの？

この場合、 can を使って言うのは自然ですよ。

ーI'll ask if I can have the day off tomorrow.
「明日休めるか聞いてみるね」
to have the day off で「休みを取る」

ーI'll see if I can take a day off tomorrow.
「明日休めるかみてくるね」
to take a day off で「休む」

ご参考まで！

ご質問ありがとうございます。

・「Let me ask if I can take a day off tomorrow.」
（意味)明日休めるか聞いてみるね

<例文>Let me ask if I can take a day off tomorrow. I'm pretty sure my boss will let me.
<訳>明日休めるか聞いてみるね。上司はきっと許可してくれると思う。

参考になれば幸いです。