He should swallow his food first then start talking.
He should finish eating his food before he starts talking.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーHe should swallow his food first then start talking.
「彼は話す前に食べ物を飲み込んだらいいのに」
ーHe should finish eating his food before he starts talking.
「彼は話し始める前に（口の中の）食べ物を食べてしまったらいいのに」
ご参考まで！
He should talk after swallowing.
「飲み込む」はswallowです。
「飲み込んだあとに話したら良いのに」
He shouldn't talk with his mouth full.
「口を（食べ物で）いっぱいにして話さなければ良いのに」
欧米では、子どもが口に食べ物を入れたまま喋ると、Don't talk with your mouth full!と親が注意します。
カナダ 
日本 
