「[抱っこ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/50383/)して」は
Give me a hug!/Hug me.
Pick me up.→持ち上げてもらいたい時
hug は動詞にも名詞にもなります。
「ハグする」と「ハグ」です。
「抱っこしてあげる」は
Let me give you a hug.
Let me pick you up.
「[おんぶ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/42466/)して」は
Give me a piggy back.
「おんぶしてあげる」は
I’ll give you a piggy back.
です!
Do you want a piggyback ride? = おんぶして欲しい?
Do you want me to carry you? = かついで欲しい?
この二つが一番使われるかと思います。子供視点からだと(I want a) piggyback ride!やCarry me!と言ったリクエストが来ます。
Upはご存知の通り「上」と言う意味です。小さくて言葉を覚え始めている子供であればとりあえず"Up!!" = 「上(へ行きたい)!」と言うでしょう。