抱っこしてって英語でなんて言うの？

「抱っこして」は
Give me a hug!/Hug me.
Pick me up.→持ち上げてもらいたい時　

hug は動詞にも名詞にもなります。
「ハグする」と「ハグ」です。

「抱っこしてあげる」は
Let me give you a hug.
Let me pick you up.

「おんぶして」は
Give me a piggy back.

「おんぶしてあげる」は
I’ll give you a piggy back.

です！

「抱っこして～」は「carry」（運ぶ）という表現もまたよく聞きますね～！
「carry me!」と叫ぶ幼い子はショッピングセンターでもよくいます。

「You want mommy to carry you?」（だっこしてあげよ～か？）
「You want a ride?」（だっこしようか？）

〝おんぶ” は後藤さんも紹介してくださっている通り、「piggyback」ですね。
同時にこの表現で〝かたぐるま”　という意味でも使ったりします。

いずれも、もう二度と体験することのないもの。
ちょっとさみしい～・・・（笑）

ですね～！！

がんばってください！！

Do you want a piggyback ride? = おんぶして欲しい？

Do you want me to carry you? = かついで欲しい？

この二つが一番使われるかと思います。子供視点からだと(I want a) piggyback ride!やCarry me!と言ったリクエストが来ます。

Upはご存知の通り「上」と言う意味です。小さくて言葉を覚え始めている子供であればとりあえず"Up!!" = 「上（へ行きたい）！」と言うでしょう。

Carry = 抱っこ

抱っこして〜！は
Carry me! / Pick me up!
が自然だと思います。

日本ではハグと抱っこが同じものと認識されていることに個人的に違和感を感じています。
某アメリカアニメでhugを「抱っこ」と訳していて、まだ幼稚園生だった我が子も「これは抱っこじゃなくてギューだよね」と言っていたのが印象的でした。

hug = 両腕で相手を抱きしめる

抱えて持ち上げる抱っことハグは異なるものだと思います。

Carry me! は、小さい子供のでも発音しやすいので、よく使います。

おっしゃられている内容は、他のアンカーの方も回答してらっしゃるように、以下のように表現できると思いました(^_^)
Pick me up「私を拾い上げて」
Hug me「私を抱いて」
Carry me「私を運んで」
というのが、それぞれの直訳になります。

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)

★★大阪カフェレッスン英会話講師KOGACHI