何のきっかけもなくおもちゃが壊れたって英語でなんて言うの？

この場合、次のような言い方ができますよ。

ーThe toy got broken for no good reason.
「おもちゃがなんのきっかけもなく壊れた」
ここの「きっかけもなく」 は for no good reason を使って言うと良いでしょう。

ーI would have never studied English if I didn't have any good opportunities.
「何もきっかけがなければ、英語を勉強しなかっただろう」
ここの「きっかけがなければ」は didn't have any good opportunities を使って表現すると良いですよ。

ご参考まで！

こんにちは！
ご質問ありがとうございます。

先のアンカーさんが回答されているので、ここでは他の例を挙げてみます。例えば、

The toy just broke out of the blue.
『何のきっかけもなくおもちゃが壊れた。』
※突然壊れたというニュアンスです。

I wouldn’t have learned English without the trigger that inspired me to study.
『何もきっかけがなかったら英語を勉強しなかっただろう』と言えます。
※trigger を使って文章を作成しました。

参考になれば幸いです。