The efforts of groups seeking Islamic rule have escalated into conflicts.
こんにちは!
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
The efforts of groups seeking Islamic rule have escalated into conflicts.
とすると、「[イスラム教](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/63192/)による統治を目指す集団の活動が紛争へと発展しています。」となります。
文脈によっては movements, campaigns, efforts などが自然です。
役に立ちそうな単語とフレーズ
Islamic rule イスラム法やイスラム体制による統治
seek to ~しようとする
movement 運動、社会的活動
escalate into ~へと発展する
参考になれば幸いです。