こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
It leaves me feeling drowsy the next day.
とすると、「[持ち越し](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/143777/)が出るんだよね。」となります。
役に立ちそうな単語とフレーズ
feel drowsy 眠くてうとうとする、眠気を感じる
参考になれば幸いです。
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーThis medicine has some lingering effects.
「この薬は長く続く影響がある」＝「この薬は持ち越しが出る」
ーThis medicine doesn't wear off right away.
「この薬はすぐに消えない」＝「この薬は持ち越しが出る」
ご参考まで！
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