手をつないで歩くって英語でなんて言うの？

Walk holding hands =手を繋いで歩く

一番ストレートで伝わりやすい表現かと思います。小さな子供と一緒に公園を散歩するような風景を想像させます。

Walk hand in hand=手と手を繋いで歩く

こちらはもう少し親密な関係性を描く表現なので、質問者さんのようにお子さんと仲良く公園を歩いた事を表現したい時にぴったりです。その場合は:

My child and I had a walk in the park, hand in hand =私は子供と手と手を繋いで公園を散歩した

と表現しましょう。

”hand in hand”とは親密な関係性を描くと言いましたが、「手を繋ぐ」と言う意味だけではありません。例えば:

The image and music go hand in hand in film =映画では映像と音楽は親密な関係がある

などと、「お互いがなくてはならない存在」と言う意味としても使われます。

▶︎ walk hand in hand
　手をつないで歩く

hand in hand は「手をつないで」。

▶︎ walk holding hands
　手をつないで歩く

hold hands で「手をつなぐ」。

例：
The kids and I took a walk hand in hand.
子供達と私は手をつないで散歩した。

walk while holding hands
手を繋ぎながら歩く

walk hand in hand
手を繋いで歩く

上記のような言い方ができます。
hold hands で「手を繋ぐ」を英語で表現することができます。

例：
Let's hold hands.
手を繋ぎましょう。

walk hand in hand で「手を繋いで歩く」を英語で表現することができます。

walk は「歩く」という意味の英語表現です。
hand in hand で「手を繋いでいる」ことを伝えることができます。

例：
They were walking hand in hand and it was so cute.
手を繋いで歩いていて、とても可愛らしかったです。

お役に立てればうれしいです。