ボールペンのインクが切れたって英語でなんて言うの？

インクがなくなった時 out of ink と表現できます。run out of ink が「インクがなくなる」で out of ink は「インクがなくなった状態」ですね。

例：
I'm running out of ink!
インクがなくなってきた！

My pen is completely out of ink.
このペン完全にインクなくなった。

My pen died. は直訳すると「ペンが死んだ」になります。インクがなくなって使い物にならなくなったので”死んだ”と表現します。
バッテリーがなくなるときもdieを使います。
My smartphone is dying!　スマホの充電がなくなりそう！

My pen's ink ran out.「ペンのインクが無くなった」
run out of ～は「～が無くなる、足りなくなる」という意味です。

「ペンのインクが切れた」の意味です。

このようにも言うことができます(^^♪

ご参考になれば幸いです。