インクがなくなった時 out of ink と表現できます。run out of ink が「インクがなくなる」で out of ink は「インクがなくなった状態」ですね。
例:
I'm running out of ink!
インクがなくなってきた!
My pen is completely out of ink.
このペン完全にインクなくなった。
My pen died. は直訳すると「ペンが死んだ」になります。インクがなくなって使い物にならなくなったので”死んだ”と表現します。
バッテリーがなくなるときもdieを使います。
My smartphone is dying! スマホの充電がなくなりそう!
My pen's ink ran out.「ペンのインクが無くなった」
run out of ~は「~が無くなる、足りなくなる」という意味です。