総合病院で精密検査をしてもらったら？って英語でなんて言うの？

You should get/have a specialist/detailed examination at the polyclinic.
精密検査：specialist/detailed examination
"examine" には詳しく調査するというような意味がありますので”check"よりも
きちんと精査するニュアンスなんですね。

polyclinicは基本的には総合病院のこと。

ちなみに、通常の検診であれば”medical check up”や”health check up”と
いうのが一般的です！

アメリカでは総合病院を指してhospitalという単語を使います。
個人病院はdoctor's officeといい、ちょっとしたことであればdoctor's officeに行きます。
hospital自体がより重症な人が行く場所なので、状況によっては3番目のように「hospitalで検査をしてもらったら？」というだけで深刻さを伝えることができます。

精密検査＝detailed/close examination

→ 'thorough' で、「徹底的な」という意味の形容詞です。

a thorough investigation といえば、「徹底的な調査」の意味です。

TOEICにも、よく登場する単語ですので覚えてくださいね。