知り尽くすって英語でなんて言うの？

I know ～ like the back of my hand
～にとても詳しい

back of one's hand は「手の甲」という意味です。
文字通りには「～を自分の手の甲のように知っている」となります。

｛例｝

I know Toronto like the back of my hand.
私はトロントを知り尽くしている。
［出典：680 News-Oct 20, 2016］

I know this river like the back of my hand.
私はこの川を知り尽くしている。
［出典：Otago Daily Times-Nov 6, 2016］

I know his songs like the back of my hand.
私は彼の歌を知り尽くしてる。
［出典：New York Times-Jan 10, 2017］
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他の回答とともに参考にしてください。
ありがとうございました。

Know everything about〜
〜について全て知っている、という意味で
よくいいます。口語的言い回しですね。

Be familiar with〜
Familyは家族で、それだけ"親しい"
という意味がありますが、familiarは、親しいもの、という
意味の派生で、〜に詳しい、という意味の形容詞です。
withを伴うので覚えておきましょう。

[知り尽くす（知り尽くしている）｝は、他の回答者の方々がおっしゃっている
be familiar with~ (~に精通している）や、
know ~ like the back of one's hand.　などとも言いますが、
まだ出ていない、こういう時、欠かせないイディオムをお教えします。

know about... inside out.
( ...を知り尽くしている）

inside out で「中側から、外まで」といったニュアンスですので、わかりますね。
He knows about computers inside out.
(彼はコンピュータに関して、知り尽くしている）

☆なお、この　inside out は、別の意味のイディオムにもなります。
「裏返しに」という意味です。
（中側を外＝おもてに　ということで、これもよくわかりますね）

"You are wearing the sweater inside out!"
(あなたの着てるそのセーター、裏返しだよ！）

こう言われたら、赤面ものです（笑）

それよりは
You know about English inside out!
(あなた、英語のことなら知り尽くしているね）
こう言われたいものですね♪♪

ご参考まで。

「知り尽くす」は、一番単純には、
know everything about ～
「～について全てを知っている」と表現できると思いますm(__)m
例）
He knows everything about this system.
「彼はそのシステムについて知り尽くしている」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)