でも先生が熱心に教えてくれたので上手になりました。って英語でなんて言うの？

例文は「先生の素晴らしいレッスンのおかげで、英語がだいぶ上達しました」です。

thanks to～で「～のおかげで」
先生の、というのは英語では二人称で　your となります。
a lot はたくさんという意味ですが、かなり、すごく、という副詞としても使います。
improve a lot で「かなり上達する」

ぜひ、先生に伝えてみてください。

It's all thanks to your passionate teachingは、「これは全部あなたの（先生の）教え方のおかげです」のような意味です。

passionateは「熱心な」はもちろん、ほかに「情熱的な」や「熱情的な」の意味もあります。「心や努力や熱意をこもった」ような教え方を褒めるにはぴったりの言葉です。
teachingには、「教え方」のほかに、「指導」という意味も含まれています。