子供を寝かしつけるって英語でなんて言うの？

「寝かしつける」は、put to sleep や put to bed などと言えます。

my son（息子）の代わりに、もちろんmy daughter（娘）と言えますが、my childというあいまいな呼び方は（なぜか）やや不自然になります。もちろん、伝わりますが、この場面でネイティブが使わない言い方です。

例：
I am going to put the baby to sleep.
赤ちゃんを寝かしつけます。

Did you put the children to bed?
子供たちを寝かしつけましたか？

I've just put my child to sleep/bed.
ちょうど子供を寝かしつけたところです。

あかちゃんやこどもを寝かしつけることを一般的には
put them to sleep/bed
と言います。

また子守唄を歌って寝かしつけてあげることもこのように表現できます。
sing my child to sleep

put ~ to sleep ＝「～を寝かしつける」

I just put my child to sleep.
今子供を寝かしつけたところです。

I put my son to sleep at 8pm.
8時に息子を寝かしつけます。

My child just went to sleep.
子どもがちょうど寝たところです。
「寝かしつけた」という意味ではありませんが、
寝ている状態を指す意味としては同じなので同様に
使えると思います。

こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：

put to sleep

put to sleep は「寝かせる」「寝かしつける」という意味の英語表現です。

例：
I have been trying to put my baby to sleep for the last hour.
ここ1時間、赤ちゃんを寝かしつけようとしています。

ぜひ参考にしてください。