仕事を取り合うって英語でなんて言うの？

取り合うは、fight over です。子供たちのおもちゃの取り合いも、同じように表現できます。同僚は、coworkers または colleagues です。

"compete"は「競争する」ですが、"for〜" がつくと「〜を取り合う、〜をかけて争う」となります。
その仕事（やポジション）を取ろうと競っている、というこの状況にぴったりです。