回答
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We've got a very tough budget. Would you give us a little more discount?
予算が厳しいんです。もう少し下げてもらったりできませんか?
Tough budget; 厳しい予算。limited budget:限られた予算。ですので、our budget is limited; 予算が限られているんです。と出だしで言っても良いと思います。
この場合のWouldは
Would you; ...してくれたら嬉しいんですけど。willの代わりにwould使うことで、「ください」→「下さったら」というニュアンス、つまりは丁寧な表現のできます。
回答
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Our budget is really tight. Is there anything you can do about the price?
「どうにかなりませんか」という表現は英語でいうとよく anything/something you can do about X
電車の中の宣伝でこの言葉をよく見ます:「なんとかなりませんか?」Can something be done about it?
交渉にもこの言葉がよく出るので、相手に頼むようにいうと、
Can you do something/anything about X?
「X のことに関してなんとか(あるいはどうにか)なりませんか?」という意味です。
今回の「値引き」のことにすると、
Can you do anything about the price?
となり、「少しでも」のニュアンスが掴む単語は anything です。something は「何か」で、 anything は「なんでも」という、ちょっと絶望的な感じが持っています。