殺伐とした雰囲気って英語でなんて言うの？

文字通り訳すと"savage atmosphere"ですが、どちらかというと、このsavageにはvicious(悪意ある）やviolent (暴力的な）のような意味合いが含まれます。
日本語で殺伐とした雰囲気だった、という時はもう少し柔らかい状況かなとも思いました。
例えば、あの会社では社長が○○に対して●●とプレッシャーを与えていた・・・That's cold.のような"cold"の口語的な使い方も可能かと思います。

「dog-eat-dog」はどいう意味なのか、と言うわけでどういう場合なのかと言うと、「皆は自分自身のお好みを従って、相手を傷つけるほどにも勝手にやりたいことをやるし、欲しい物を手に入れること」と言う意味です。

「every man for himself」は同じ意味で、男性の話しじゃなくても使うことができます（この表現の中には、「man」は「人」または「人間」と言う意味が含まれています）。