思わずもらい泣きしちゃったって英語でなんて言うの？

「思わず・・・しちゃった」は、without thinking, in spite of myself, I couldn't help ...ing, couldn't hold back ...などで表現できます。

それぞれの英文の日本語訳と、その他のさまざまな表現は下記の通りです：

英訳１：I was so touched by my neighbor's story that I cried.（近所の人のお話を聞いてたらとても感動して泣いてしまいました）

• I was moved to tears by my neighbor's story.（近所の人の話に感動して泣いてしまいました）
  *be moved to ...「・・・する気にさせられる」
• I couldn't help crying when my neighbor told me the story.（近所の人の話を聞いて、涙を抑えることができませんでした）
  *can't help ...ing「・・・せざるを得ない」

英訳２：The story my neighbor told me was so moving/touching that it reduced me to tears.（近所の人が話してくれたストーリーがとても感動的で、泣いてしまいました）
*movingやtouchingは「感動的な」という意味の形容詞です。reduce XX to ...「XXを…の状態にする、XXを…に変える」

• My neighbor told me such a touching story that I found myself crying.（近所の人が話してくれたストーリーが感動的で、泣いてしまいました）
  *find myeself ...ing「気づくと、・・・している、自分が・・・しているとわかる」

英訳３：I wept in sympathy when my neighbor told me her story.（近所の人の話を聞いて泣いてしまいました）
*weep in sympathy「共感して泣く、もらい泣きする」

• I was in tears after hearing my neighbor's story.（近所の人の話を聞いて涙ぐみました）
  *in tears「泣いて、涙ぐんで」

※my story, your story, his story, her story, their story, our story と言うと、「その人自身に起こり、その人生に影響を与えた出来事」の意味になります。

「bring 〜 to tears」は「目に涙を催させる」の意味で、「感動して泣く」の時によく使われたます。または、「bring tears to my eyes」の言い方もあります。意味は同じです。

もらい泣きは、cry/weep in sympathy といいます。
共感・同情して、泣く、という意味です。

ちなみに、cryは、声に出して泣く、weepは、すすり泣く、という意味です。