目にしみるって英語でなんて言うの？

ヒリヒリしたり、しみることをこの場合、burnと言います。

Chopping onions make my eyes burn!
玉ねぎを刻むと目にしみる！

This eye drop burns my eyes.
この目薬は目にしみる。

「○○で目がしみる、チクチクする。」

"make A 〜" は「Aを〜の状態にする」という表現になります。

"smart" は、ここでは「(身体の一部が)うずく、ズキズキ/ヒリヒリ痛む、(薬などが)しみる」ということを表します。"sting"((刺されたように)チクチク/ヒリヒリする) を使っても良いでしょう。