I picked up this stone from the river at the back.
at the backで「裏手の、後方の」を意味します。the river at the backで「裏手にある川、裏の川」となります。
「〜の裏の川」と言いたい場合は、the river at the back of 〜 となり、他にも the river (out) behind 〜 という表現があります。ここでの out は「外」にいることを強調する為に使われてあり、入れなくても良いです。behind 〜 は「〜の後方に、背後に」です。単独で副詞としても使われますが、ここでの意味の場合、通常は後ろに名詞を伴って使われます。よって、「裏の川」を "the river behind" と表現することはあまりありません。
backyardは、書かれているように、家の敷地内の裏庭を意味します。
I picked up this stone from the river at the back.
"at the back"は「裏手の」「後方の」を意味します。したがって、"the river at the back"は「裏手にある川」や「裏の川」になります。
具体的な物の裏を指す場合、「〜の裏の川」は "the river at the back of ~"と言います。また、 "the river (out) behind ~"という表現もあります。ここでの"out"は「外に」を強調するために使用することがありますが、必須ではありません。"behind ~"は「〜の後ろに」「〜の背後に」を意味します。単独で副詞としても使用されますが、ここでの意味では通常、後に名詞が続きます。したがって、「裏の川」を "the river behind"とだけ表現することはあまりありません。
"backyard"は一般的に、家の敷地内の裏庭を指します。もし家の裏にすぐ川がある場合、 それは “the river in the backyard"となりますが、家のすぐ裏に川がないという状況では、"backyard"は不適切です。具体的な場所によって、より適切な表現を選ぶことが重要です。