（飲み物）もうなくなっちゃったよ、お代わりちょうだいって英語でなんて言うの？

「(飲み物が)なくなる」は、「(飲み物を)飲み終える、飲み干す」とすると、文が作りやすくなります。
"finish〜"(〜を終える) や"drink up〜"(〜を飲み干す) を使うと良いでしょう。

"Can I get/have 〜？" は「〜をもらえますか？」と言いたい時によく使われる、カジュアルな言い方です。"Could I 〜" とすると、丁寧な言い方になります。

"some more" は「もう少し」、"another 〜" は「もう1杯の〜」を表します。
"another one" という表現は、飲み物に限らず、同じ物をもう一つ欲しい場合に何にでも使えるので、覚えておくと便利です。

この場合、次のような言い方ができます。

ーMy drink is gone. Can I have some more?
「飲み物なくなっちゃった。お代わりちょうだい」
My drink is gone. で、飲み物がなくなるという意味です。

ーI finished my drink. Can I have another one?
「飲み物なくなっちゃった。お代わりちょうだい」
I finished my drink. で、飲み物を飲み終えるという意味です。

ご参考まで！

「My drink's all gone」は「私の飲み物がもうない」、つまり飲み物が全部飲み終わったという意味です。「can I have a refill」は、「お代わりをいただけますか？」とお代わりをお願いする礼儀正しい表現です。この文末に「please」をつけることでさらに丁寧な印象を与えます。

役に立ちそうな単語とフレーズ:

empty: 空の
another one: もう一つ
more: もっと
please: どうぞ、お願いします