この場合、次のような言い方ができます。
ーMy drink is gone. Can I have some more?
「飲み物なくなっちゃった。お代わりちょうだい」
My drink is gone. で、飲み物がなくなるという意味です。
ーI finished my drink. Can I have another one?
「飲み物なくなっちゃった。お代わりちょうだい」
I finished my drink. で、飲み物を飲み終えるという意味です。
ご参考まで!
「My drink's all gone」は「私の飲み物がもうない」、つまり飲み物が全部飲み終わったという意味です。「can I have a refill」は、「お代わりをいただけますか?」とお代わりをお願いする礼儀正しい表現です。この文末に「please」をつけることでさらに丁寧な印象を与えます。
役に立ちそうな単語とフレーズ:
empty: 空の
another one: もう一つ
more: もっと
please: どうぞ、お願いします