さりげないって英語でなんて言うの？

Without anyone's noticing＝誰も気付かないような

Without making a big deal＝大げさでないような

例：

She left the home without anyone's noticing, and brought more wine, which was highly appreciated＝彼女は誰も気付かない内にアパートを出て、追加でワインを買って来て皆を喜ばせた。

Without making a big deal, my friend silently went to our kitchen and washed all our dishes＝友人は何も言わずにキッチンへ行き、いつの間にか私たちのお皿を全部洗ってくれた。

「さりげない」に相当する、何事もないように振る舞う態度や言い方は英語で様々な言い方は存在します。

casually
cooly
nonchalantly
indifferently
in a casual manner
unconcernedly
as if it didn't matter
was no big deal

例文：
When asked about the fight with his girlfriend last night, Yuta responded nonchalantly that it wasn't a big deal.
昨夜に彼女とした喧嘩について聞かれたら、ゆうたさんがさりげなく、「大した喧嘩ではなかった」と言いました。

He acted as if handling the problem had been no big deal.
彼はさりげない調子でその問題に触れた.