[意見や利害の対立がある場合の、何とか双方が受け入れられる[解決策](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/55012/)・合意] は
compromise ですね。
「[妥協](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/2926/)（案）」というのが一般的な訳です。
この compromise に plan や、proposal（提案）agreement（合意・契約）などをつけることもあります。
例文
We managed to work out a compromise.
(私たちは妥協案をようやく作ることが出来た）
（manage to～ なんとか～する work out うまく～になる）
ご参考になりましたら幸いです。
この場合の「落としどころ」は言い方を変えると
「[妥協点](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/36885/)」、「[合意](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/58027/)できるところ」ですね。
common groundは直訳すると
「共通の土台」ですが、「複数の人達の意見の合意点、妥協点」
という意味もあります。
a point of compromiseは文字通り「妥協点」
という意味です。
網本さんが説明されているように
compromiseだけでももちろん大丈夫です。
We are searching for common ground.
We are searching for a point of compromise.
私達は落としどころを探している
少しでも参考になれば幸いです。
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：
point of compromise
落とし所
compromise は「妥協案」や「折衷案」というニュアンスの英語表現です。
例：
This might be a possible point of compromise.
これは落とし所になる可能性があります。
ぜひ参考にしてください。
日本 
アメリカ合衆国 
