"Let me know 〜" は「〜を私に知らせて下さい、教えて下さい」という意味です。"Can you tell me 〜" という表現もあります。"Could you 〜" とすると、より丁寧な言い方になります。
"be done with 〜" は「〜を終える、済ませる」です。同じ意味の"finish〜"を使っても良いでしょう。
"almost"(ほとんど、ほぼ)を入れて、「もう少しで終わりそうである」様子を表します。
Let me know when it's about to finish.
「もうすぐ（それが）終わる頃に連絡して」
Let me know when you're about to finish it.
「もうすぐ（あなたが）用事を終える頃に連絡して」
忠実に訳してみましたが、大体のケースでは、終わりそう＝終わる前に連絡するというより終わった後に連絡する状態が多いように思いますので、（そうしないと用事の最中に連絡しないといけなくなる）
Let me know when you're done.
Let me know when it's finished.
などを使うケースが多いかもしれません。
日本 
