次はもっと英語を勉強しておきますって英語でなんて言うの？

・take a lesson：レッスンを受ける
※have a lessonも使うことが出来ますが、take a lessonが「レッスンを受ける」という動作のニュアンスであることに対してhave a lessonは「レッスンがある」という状態の意味となります。take a lessonはレッスンを受ける側の生徒さん目線で使われます。

例）Next time, I’ll study harder before taking a lesson.
「次は、レッスンを受ける前にもっと勉強します。」

ご参考になれば幸いです。

英訳①　be sure to ...には「絶対に…する」の意味合いがあります。

英訳②　better prepare で「もっとしっかり準備する」の意味になります。

英訳③　「次の英語レッスンのために、もっと勉強します」が直訳。
一番シンプルな言い方ですね。

"take/have a lesson" は「レッスンを受ける」の表現です。

"lesson well prepared" の部分は、"lesson (which is) well prepared" ということで、「十分に準備されたレッスン」→「十分に準備してレッスンを受ける」となります。
また、"well-prepared" と間にハイフンを入れると、「十分な準備をした」と形容詞になり、"well-prepared lesson"(十分な準備をしたレッスン) と言うこともできます。

"with full preparation" は、「万全な態勢で、完全に準備して」という意味です。"full" を "adequate"(適切な、十分な) にしても良いでしょう。

"next time" は「次回は、この次は」ですが、"next"(次の) を名詞の前に付けて "next lesson"(次のレッスン) とすることもできます。