失敗を次の仕事で取り返すって英語でなんて言うの？

Make up は前置詞によって意味がだいぶ違います。

Make Up = でっち上げる
Are you telling me the truth, or did you make the story up?
真実言っているの？もしくは話が嘘なの？

Make Up (something) to (someone) =　（誰かに対する）損をなくす

I’m sorry I hurt your feelings. I’ll make it up to you. I’ll buy you dinner.

Make up for (something) = （損）をなくす
Can you buy me lunch? I’ll make up for it and pay you next time.

ではこの場合、英語の自然な言い方はこうでしょう。
I’ll make it up to you next time.
このフレーズは相手を重視して相手の損をなくす意味が強いです。
I’ll make up for it next time.
このフレーズは悪いことが中心して、それをなくす意味が強いです。

言い方は様々で十人十色かもしれませんが、そのうちの幾つか、ネイティブっぽく言うならば
これら三つのどれかが例となることと思います。

一つ目のように比ゆ的に、又は間接的な表現で柔らかく伝えたり、
二つ目の例文はがっかりした上司にほめられたい気持ちで、
三つ目は必至感たっぷり、って感じですね。

他にもあるかもしれませんが、あとは単純に好き嫌いで選んで良いと思います。

おっしゃられている内容は、以下のようにも表現できると思いました(^_^)
I'll do my best next time to make up for my mistake.
「ミスを埋め合わせるために次回は全力を出します」

make up for ～「～を埋め合わせる」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)