① I have to take a make-up exam.：追試を受けなければなりません。
take an examは「試験を受ける」という意味です。
make-up examは「再試」という意味でよく使われます。
② I need to take a reexamination.：再試を受ける必要があります。
need to 〜は「〜する必要があります」という意味です。
reexaminationは「再試」という意味で、単語の頭の re- のコアのイメージに「繰り返す」があります。繰り返す試験→再試と考えると覚えやすいかも知れませんね。
ご参考になれば幸いです。
どちらも「数学の追試を受けなきゃ。」という意味です。
1) I have to do a retake on my math test.
「数学の追試を受けなきゃ。」
do a retake on で「〜の追試を受ける」
2) I have to rewrite my math test.
rewrite は「書き直す」という意味ですが、「試験を受ける」は write a test とも言えるので、rewrite a test で「試験を受け直す」という意味になります。
ご参考になれば幸いです！
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