"I forgot to drop the letter in the mailbox and brought it with me."
ポストに投函してくるのを忘れて手紙持ってきちゃった」という表現は、"I forgot to drop the letter in the mailbox and brought it with me." と言えます。直訳すると、「手紙をポストに投函するのを忘れて、それを持ってきてしまった」となります。
また、「あーあ、戻って投函しなきゃ」というシチュエーションは、"Oh no, I have to go back and post it." と表現できます。