「私用で休暇を取ります」というのは、take personal leaveも言います。
例：
I am going to take personal leave for a few weeks.
数週間私用で休暇を取ります。
「[休暇](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/35037/)を取る」はtake a day offまたはtake (a) leaveです。
leaveは基本的に「出る」という意味ですが、この場合に「[仕事](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/37171/)から離れる」という意味となります。
personalは「個人的な」という意味なので、この表現では「私用で」のニュアンスがあります。
on private/personal business という表現でも、「私用」の意味になります。
business は、「ビジネス」という意味のほかに、「用事」「用件」「関わり合いのあること」などの意味があります。
ですので、on private/personal business は、「私的な用事で」ということになりますね。
また、次のような表現もあります。
It none of your business!
（あなたには関係ないことだ！）
お役に立てれば幸いです。
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