Put vegetables which take long to cook thoroughly to the core first.
「〜を入れる」は、ここでは "put 〜" を使います。「(鍋の中に)置く」といったイメージです。
「〜するのに時間がかかる」は "take long to 〜" や "take time to 〜" と表現します。
"thoroughly" は「完全に、十分に」という表現です。
"cook to the core" は「芯まで火を通す」ということを表します。"core" は「(物の)中心部、中核部」という意味です。
"first" は「まず、最初に」という表現になります。