「痔」はhemorrhoids です。
発音を無理やりカタカナで書くと「ヘモろいズ」（heにアクセントがあります）
piles という言い方もあるのですが個人的に使った経験がないので、回答は hemorrhoids にしました。hemorrhoids は正式な医学用語ということです。
come down with ... は「[病気](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/31156/)にかかる」という意味の句動詞です。
例）My big sister came down with the flu.（お姉ちゃんが[インフルエンザ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/31996/)にかかってしまった。）
もっと簡単に I got hemorrhoids. でもＯＫ！
病気にかかるは基本的に get で通じます。便利！
ちなみに種類ですが hemorrhoids / piles は「いぼ痔」のことです。
「切れ痔」は知らなかったので調べてみましたが bleeding hemorrhoids で通じるようです。
参考になれば幸いです！
[薬局](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/39050/)で店員さんに言う時は
Excuse me, I am suffering from hemorrhoids.
(すみません、痔で困っているのですが…）
で通じますよ。
もっと簡単には↓これで大丈夫。
I have hemorrhoids.
I got hemorrhoids.
Macky さんの解説のようにhemorrhoids がいぼ痔のことなので、
それで通じますし、切れ痔などの時には症状をいうのがよいですよ。
[痛い](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/36238/) （painful) 出血している（bleeding)
お大事になさってくださいね。
日本 
