ママはやらないで！は
Don't do it, mommy.
僕が自分でやる！（自分でする）は
I'll do it myself. （自分でやるよ）あるいは
I can do it for myself. （自分でできるから）
となります。
なお、この場合はどちらでも可ですが、
myself 「（他の人ではなく）自分自身で」
for myself 「独力で」という違いがあります。
（yourself, himself, herself などもすべて同様です）
ご参考になりましたら幸いです。
「ママはやらないで」は "Don't do it, mommy" といいます。命令形を使って何かをしないでという意見を表現しています。
そして、「僕が自分でやる」は "I'll do it myself" や "I can do it for myself" と表現できます。
"I'll do it myself" は「私自身がそれをやる」と自己の行動を強調する表現で、「自分でやる」という意志や決心を示すのに便利です。
一方、"I can do it for myself"は「自分でやれる」という自己の能力を強調する表現で、「自分でやれる」という確信を示すのに便利です。
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