布団、はこの場合、毛布のblanketかなと思いました。
布団を「かける」は、put で表現できますね。
「私に、僕に」の部分ですが、
ご質問の意図は「私の全体に」ということでover me となります。
これらを合わせて
Put the blanket over me!
「私に（僕に）お布団かけてよ。」
となります。
ご参考になれば幸いです。
実際そこにいることを想像してみると、私の場合は上記英訳例のような表現が考えられると思いました。
日本語では「ママーお布団かけてー！」と言う表現もその場にいればたぶん、”Give me my blanket!!" （直訳：僕の毛布ちょ～だいっ！）という形が自然かな、と思います。
英語でも通常は「布団（毛布）」＝「かける」という一つの用途が常識、故に「ちょーだい！」という要求内容に「かけて～！」という意味は当然の如く含まれますので「英語では」こういった言い方もまた一つの案、方法として回答させていただきます。
英訳例２個目も同じ、よくネイティブが使う「〇〇が欲しい」という表現の定番ですね。
同時に、「ちゃんとお布団かけてよー！」と言うのであれば、”No, you've got to do it perfectly, Mommy!!” のように、「違う（んもぉ～／やだっ！）、ちゃんとやって～！」という意味で全ての対象に使える表現ですね。
また上記表現では ”Mommy"、”Mom" や ”Mother" ではなく ”Mommy"、これも毛布を掛けてほしいと言ってくるお子さんがまだ幼いと子であれば、ならではの呼び方を付け加えればよりリアルな表現になると思います。
これらの表現もまた参考になればと思います♪
日本 
