～の時は特にって英語でなんて言うの？

I can't stop coughing especially when I eat.
（特に食べている時は、咳が止まらない。）

This film is really touching. Especially when the main guy proposes to the heroine.
（この映画はとても感動するよ。特に主人公がプロポーズする時は。）

Watch your step, especially when it is raining.
（足元気をつけて。特に雨降っている時は）

especiallyを強調して言うと、「特に」感がさらに強調して伝わります。

especiallyで強調することができます。

余談ですが、speciallyとespeciallyの違いをよく聞かれます。
簡単にいうと、speciallyは「特別に」、especiallyは「特に」という意味です。

ご参考になれば幸いです。

一つの時を強調したい時に使える言い方はいくつかあります。「特に」と同じ意味で「In particular」を使えます。
例えば：
I am a cry baby, in particular I cry a lot when I'm lonely ＝　私は鳴く虫なんです、特に一人の時に結構泣きます。

他の便利な言い方は「Especially」です。こちらの意味も「特に」に近いです。
This movie always makes me cry a lot, especially during this scene ＝　この映画いつも感動して泣く、特にこのシーンです。