「保険会社は1日中（24時間）稼動しています」って英語でなんて言うの？

available -「利用できる」
24/7 -「24時間、7日間」「年中無休」 読み方は twenty four sevenです。

workを使うと少し違和感があります。
仕事をしているのは保険会社ではなく、従業員なのでInsurance company を主語にするならopen, availableを使うと自然に聞こえます。

ここでは、ある特定の保険会社ではなく一般的にどの保険会社も、ということだと思うので、"insurance companies" と複数形にします。

"be open" で「(店などが)空いている、営業中の」という状態を表します。「〜が開く、〜を開ける」という動作は "open (〜)" を使います。

「24時間」は "24 hours a day" と表します。他に "all day and night" や "for 24 hours" などのように言うこともできます。

24/7は７日間毎日終日営業している、という意味になります。
また「やっている」「営業している」は "run" または 主語をサービスを受ける人間に変えて "are reachable"になります。

お力になれたら嬉しいです。