彼が仕事忙しいから私が犬の世話しなきゃならないんだよね。って英語でなんて言うの？

"have to 〜" は「〜するしかない、〜せざるを得ない」と、ここでは必然的な状況下での表現になります。 "take care of 〜" は「〜の世話をする、面倒を見る」という表現で、他に "look after 〜" と言うこともできます。 "because 〜" は「なぜなら、〜なので」となり、後に理由を述べます。 「仕事で忙しい」は "be busy with one's job" や "be busy at work" と表現することができます。

「he」を使うと、仕事で忙しいのはその犬（オスだったら）のようになります！ 「the dog」 =「うちの犬」