Daddy went to work!
パパお仕事行っちゃったね！
※Papaも可。家の呼び方に寄りますね。
Did you miss daddy?
さみしいね～
※さみしいは"alone"や"feel alone"が直訳ですが、お母様はいるそうですので、「お父さん会いたかった？」が自然です。
Daddy's working hard for you and mommy!
あなたとママの為にお仕事頑張ってくれてるんだよ。
You can have all the ice cream you want!
アイスクリームを存分に食べていいよ！
あっ、ごめんなさい。つい子供になって聞きたかったフレーズを勝手に・・・
「～しちゃった」は
現在完了形（have/has + 動詞の過去分詞）の文章で表現できます。
Papa's already gone to work.
「パパはもうお仕事に行っちゃった」
Papa's→Papa hasの短縮形
gone→go「行く」の過去分詞形
ちなみにalreadyは「もう、すでに」という意味ですが
入れなくても問題ありません。
もっと単純に「パパはもう出かけちゃった」と言う場合は
英文２つ目のPapa's already left.となります。
もちろん、PapaはDadに変えてもＯＫです。
以下はご参考まで。
I hope he comes home soon.
「彼が早く帰ってくるといいな」
He is working hard for us.
「彼は私たちのためにお仕事がんばってるんだよ」
アメリカ合衆国 
