あいつはお山の大将になりたがるって英語でなんて言うの？

call the shots は「仕切る」「采配をふるう」などに当たる英語です。

ご質問の「いつでもグループを自分の好きなようにリードしたがり、他人についていくことを嫌がる」という感じはこれで出ると思います。

もう１つの a king of the mountain は直訳ではなく、こういう英語があります。
もともと子供の遊びからできた言い回しだそうなので、語感としてはやや大人げないリーダーの感じはしますが、状況によってはこちらが当たる場合もあるでしょう。