親としての責任を果たし安心したいのよ。って英語でなんて言うの？

"carry out one's responsibility" は「責任を果たす」という表現です。 "carry out" の代わりに "fulfill" を使うこともできます。 "responsibility" は「(人や行為などへの)責任、義務」という意味です。同じような表現に "obligation" がありますが、こちらは「(慣習・協定・契約などから生じる)義務(感)、責任、拘束」という意味になります。 "feel relief" は「安心/ホッとする」という表現です。他に "feel relieved" や "feel a sense of relief" と言うこともできます。

fulfill responsibilities=「責任を果たす」 SV so that S’ can V’＝「S’がV’できるようSはVする」 Take the load off one’s shoulders＝「肩の荷を下ろす」 They want to fulfill their responsibilities as a parent so that they can take the load off their shoulders. 「肩の荷を下ろせるように、彼らは親としての責任を果たしたいのです」 ご参考まで